« Fibonacci fut le plus grand mathématicien du XIIIe siècle. Sa série est célèbre, comme l’est aussi le fameux nombre d’or qui régit les proportions harmonieusement de la nature, mais aussi de l’architecture, soit 1,618. »
— Jean-Marie Pelt
De nombreux théorèmes mathématiques ont permis d’approfondir la compréhension de phénomènes dépassant la logique. La suite de Fibonacci, par sa présence étonnante dans la nature, en est un exemple. Elle a permis notamment de découvrir le « nombre d’or », une proportion associée à des qualités esthétiques valorisées dans de nombreux domaines artistiques. Cette suite remarquable a un effet non seulement sur le monde mathématique, mais également sur ceux de la biologie et des arts.
Dans l’étude des nombres, les élèves observent différents types de suites numériques et géométriques. La suite de Fibonacci, découverte par l’observation de la logique de reproduction d’un couple de lapins, permet aux élèves de s’engager dans une démarche d’exploration, d’investigation et de déduction scientifiques.
Un personnage historique
Leonardo Fibonacci (env. 1170-1250) est un mathématicien italien connu notamment pour la découverte de la célèbre suite portant son nom et du rapport qui en découle, le fameux « nombre d’or ». On retient également de Fibonacci un ouvrage retraçant les connaissances de l’époque en algèbre et en arithmétique ainsi que la popularisation du système de numération indo-arabe aux dépens de la numération romaine.
Sources : L’article « Fibonacci Leonardo (1170 env.-env. 1250) » de l’Encyclopædia Universalis et la fiche « Mathématiques : la fascinante suite de Fibonacci et le nombre d’or » de National Geographic
Le problème des lapins et la suite de Fibonacci
La suite révélée par Leonardo Fibonacci provient d’une observation plutôt étonnante basée sur le rythme de reproduction d’une population de lapins. L’expérience s’appuie sur les prémisses suivantes : un lapin peut se reproduire dès l’âge d’un mois et chaque couple de lapins en âge de se reproduire peut donner naissance à un autre couple de lapins chaque mois. Suivant cette logique, le nombre de couples de lapins identifiés mensuellement est représenté par un nombre de la suite de Fibonacci : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… De cette suite pouvant se poursuivre à l’infini il est possible de déduire la régularité suivante : à l’exception des deux premiers nombres, chaque nombre représente la somme des deux précédents.
Sources : La fiche « La suite de Fibonacci et le nombre d’or » de l’Université de Fribourg et la fiche « Mathématiques : la fascinante suite de Fibonacci et le nombre d’or » de National Geographic
Le nombre d’or
Le nombre d’or, dont la valeur est de 1,618, naît de la division d’un nombre de la suite de Fibonacci par son précédent. Cette proportion permet d’obtenir la « spirale d’or » ou l’« angle d’or », des éléments trouvés dans divers motifs de la nature. Le nombre d’or se remarque principalement dans les domaines de la biologie ou de la botanique, mais également dans plusieurs champs artistiques pour sa valeur esthétique.
Sources : La fiche « La suite de Fibonacci et le nombre d’or » de l’Université de Fribourg et la fiche « Mathématiques : la fascinante suite de Fibonacci et le nombre d’or » de National Geographic
Fibonacci en dehors de la mathématique
La suite de Fibonacci et le nombre d’or se trouvent partout autour de nous. La nature est remplie de ces deux constantes. En effet, le nombre de pétales que compte une fleur se situe habituellement sur la suite de Fibonacci, tout comme le nombre de séries de courbes qu’on peut voir dans le cœur du tournesol, de la pomme de pin ou de l’ananas. Ces « courbes », suivant le schéma de la spirale d’or, peuvent être observées également sur les coquillages ou sur la coquille de l’escargot, par exemple.
Le nombre d’or, parfois nommé « proportion divine » dans le domaine des arts, est remarqué dans différentes œuvres pour ses grandes qualités esthétiques, et ce, depuis des millénaires. En effet, que ce soit en architecture, en musique, en poésie (le Fib), en photographie ou en arts visuels, ce rapport permet de créer des œuvres reproduisant des schémas visuellement harmonieux.
Sources : La fiche « La suite de Fibonacci et le nombre d’or » de l’Université de Fribourg et la fiche « Mathématiques : la fascinante suite de Fibonacci et le nombre d’or » de National Geographic
Pistes d’enseignement
Présentez des suites numériques ou non numériques et faites-en ressortir les régularités. Exercez-vous ensuite à créer vos propres suites à l’aide de matériel de manipulation, et ce, en variant les formes géométriques, les couleurs ou les motifs. Comme défi supplémentaire, ajoutez de nouveaux termes à une suite de nombres dont les trois premiers termes sont donnés.
Inscrivez les nombres de la suite de Fibonacci au tableau : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Demandez aux élèves de trouver la régularité (chaque nombre est la somme des deux précédents) et le nombre qui suit.
Réalisez la piste d’activité « Spirale de Fibonacci » de la plateforme La Magie des maths de l’Université Laval. Amorcez l’activité en montrant des objets ou des images permettant d’observer cette spirale dans la nature, comme un tournesol, une pomme de pin ou un ananas. Complétez l’activité avec le visionnement de la capsule « La suite de Fibonacci » sur la chaîne de National Geographic France.
Faites la lecture de l’album Le problème avec les lapins d’Emily Gravett. Créez un diagramme en arbre pour illustrer l’évolution idéale d’une population de lapins et y découvrir les nombres de la suite de Fibonacci. Amenez vos élèves à consolider leurs acquis avec la capsule « Quel est le point commun entre un ananas, des lapins et la tour de Pise? » de l’Université des Sciences en Ligne.
Exercez-vous à dessiner une spirale selon les proportions du nombre d’or en réalisant la piste d’activité proposée dans l’article « Comment découvrir la suite de Fibonacci » du blogue Mon autre reflet. Observez des productions portant sur Fibonacci et réalisées sur Scratch ainsi que sur GeoGebra.
Ressources complémentaires
- L’article « Fêtons Fibonacci! » de la plateforme Kidi’Science
- Le document « Une histoire de lapins » du Lycée-Collège de l’Abbaye de St-Maurice
- La capsule « Suite de Fibonacci » des Éditions Larousse
- L’épisode « Donald au pays des Mathémagiques », qui porte sur la suite de Fibonacci (de 7:08 à 13:39)
Pistes d’enseignement
Révisez les notions sur les suites et la régularité. Présentez des suites non numériques, numériques, arithmétiques et géométriques. Exercez-vous à les continuer et à en faire ressortir la régularité. Demandez aux élèves de rédiger à leur tour une suite numérique (arithmétique ou géométrique) et d’en retenir la règle. Lancez-leur le défi de trouver la régularité des suites créées par les autres élèves de la classe.
Inscrivez les nombres de la suite de Fibonacci au tableau : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Demandez aux élèves de trouver la régularité (chaque nombre est la somme des deux précédents) et le nombre qui suit.
Réalisez la piste d’activité « Spirale de Fibonacci » (1er cycle et 2e cycle) de la plateforme La Magie des maths de l’Université Laval. Amorcez l’activité en montrant des objets ou des images permettant d’observer cette courbe dans la nature, comme un tournesol, une pomme de pin ou un ananas. Exercez-vous ensuite à dessiner une spirale selon les proportions du nombre d’or. Complétez l’activité avec le visionnement de la capsule « La suite de Fibonacci » sur la chaîne de National Geographic France.
Réalisez une recherche sur la suite de Fibonacci et le nombre d’or. Amusez-vous à explorer les nombreux liens que cette suite remarquable possède avec la mathématique, mais également avec la biologie, l’architecture, les arts, etc. Amenez vos élèves à consolider leurs acquis avec la capsule « Quel est le point commun entre un ananas, des lapins et la tour de Pise? » de l’Université des Sciences en Ligne.
Élaborez des liens entre la suite de Fibonacci et une autre suite remarquable, comme le triangle de Pascal. Tentez d’en trouver la régularité et exercez-vous à l’appliquer.
Créez une maquette ou un jeu inspirés des nombres de la suite de Fibonacci ou du triangle de Pascal. Pour ce faire, fiez-vous à la piste d’activité « Le mystère de la suite mathématique » de la Classe culturelle. Observez des productions portant sur Fibonacci et réalisées sur Scratch ainsi que sur GeoGebra. Exercez-vous ensuite à créer des formes géométriques respectant les proportions du nombre d’or.
Ressources complémentaires
- L’article « Triangle de Pascal et coefficient binomial » de la plateforme Paramaths
- L’article « Du triangle de Pascal aux simplexes de Pascal » de l’éditorial Accromath (Université du Québec à Montréal)
- La capsule « Le grand mystère des mathématiques » de la plateforme Alloprof (jusqu’à 6:26)
- L’épisode « Donald au pays des Mathémagiques », qui porte sur la suite de Fibonacci (de 7:08 à 13:39)
Pistes d’enseignement
Observez différents éléments de la nature comme une marguerite, un tournesol, une pomme de pin, un ananas ou un coquillage. Trouvez la similarité entre les schémas qui y sont représentés (spirales) et comptez-les. Créez des liens entre les nombres de spirales et les nombres de la suite de Fibonacci. Complétez l’activité avec la capsule « La suite de Fibonacci » sur la chaîne de National Geographic France.
Faites la lecture de l’album Le problème avec les lapins d’Emily Gravett. Créez un diagramme en arbre pour illustrer l’évolution idéale d’une population de lapins et y découvrir les nombres de la suite de Fibonacci. Amenez vos élèves à consolider leurs acquis avec la capsule « Quel est le point commun entre un ananas, des lapins et la tour de Pise? » de l’Université des Sciences en Ligne.
Révisez les étapes de la démarche scientifique en l’appliquant aux schémas observés par Leonardo Fibonacci. Exercez-vous ensuite à l’employer en partant de questionnements spontanés des élèves. Profitez-en pour dégager les qualités d’un bon chercheur ou d’une bonne chercheuse en science.
Ressources complémentaires
- L’article « Fêtons Fibonacci! » de la plateforme Kidi’Science
- L’article « Comment découvrir la suite de Fibonacci » du blogue Mon autre reflet
- Le document « Une histoire de lapins » du Lycée-Collège de l’Abbaye de St-Maurice
- La capsule « Suite de Fibonacci » des Éditions Larousse
- La piste d’activité « Spirale de Fibonacci » de la plateforme La Magie des maths
Pistes d’enseignement
Observez différents éléments de la nature comme une marguerite, un tournesol, une pomme de pin, un ananas ou un coquillage. Trouvez la similarité entre les schémas qui y sont représentés (spirales) et comptez-les. Créez des liens entre les nombres de spirales et les nombres de la suite de Fibonacci. Complétez l’activité avec la capsule « La suite de Fibonacci » sur la chaîne de National Geographic France.
Réalisez une recherche sur la suite de Fibonacci et son importance dans les domaines scientifiques comme la biologie et la botanique. Amenez vos élèves à consolider leurs acquis avec la lecture de l’article « Botanique, mathématiques et autres curiosités » du site Chroniques plurielles et le visionnement de la capsule « Quel est le point commun entre un ananas, des lapins et la tour de Pise? » de l’Université des Sciences en Ligne.
Révisez les étapes de la démarche scientifique en l’appliquant aux schémas observés par Leonardo Fibonacci. Exercez-vous ensuite à l’employer en partant de questionnements spontanés des élèves. Profitez-en pour dégager les qualités d’un bon chercheur ou d’une bonne chercheuse en science.
Ressources complémentaires
- L’article « Botanique, mathématiques et autres curiosités » du site Chroniques plurielles
- La capsule « Le grand mystère des mathématiques » de la plateforme Alloprof (jusqu’à 6:26)
- La piste d’activité « Spirale de Fibonacci » (1er cycle et 2e cycle) de la plateforme La Magie des maths de l’Université Laval
Pistes d’enseignement
Présentez des œuvres artistiques dans lesquelles il est possible d’observer la proportion divine. Explorez cette proportion dans des créations architecturales, artistiques ou photographiques.
Exercez-vous! Créez à votre tour une œuvre artistique ou photographique en y intégrant un point focal comme dans la proportion divine de Fibonacci.
Présentez l’album Le problème avec les lapins d’Emily Gravett. Créez une page de livre à la façon de cet album et en utilisant une technique de collage.
Ressources complémentaires
- La piste d’activité « Le petit architecte » proposée par le RÉCIT du domaine des arts pour le 1er cycle
- La piste d’activité « Bâtisseurs de l’insolite » de la Classe culturelle
Pistes d’enseignement
Présentez des œuvres artistiques dans lesquelles il est possible d’observer la proportion divine. Explorez cette proportion dans des créations architecturales, artistiques ou photographiques.
Exercez-vous! Créez à votre tour une œuvre artistique ou photographique en y intégrant un point focal comme dans la proportion divine de Fibonacci.
Ressource complémentaire
- La piste d’activité « Bâtisseurs de l’insolite » de la Classe culturelle
Piste d’enseignement
Observez des chorégraphies de danse basées sur la suite de Fibonacci. Visionnez la capsule « Science and Dance – Fibonacci, Golden Ratio and Movement » et inspirez-vous des mouvements qui y sont présentés pour créer votre propre chorégraphie.
Ressource complémentaire
- La pièce de piano de Peter Bence basée sur la suite de Fibonacci
Pistes d’enseignement
Présentez l’album Le problème avec les lapins d’Emily Gravett. Réalisez les pistes d’exploration proposées sur la plateforme Constellations.
Explorez le Fib, une forme de poésie dans laquelle le nombre de syllabes de chacun des six vers suit la séquence de la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8). Exercez-vous à en composer sur divers thèmes.
Pistes d’enseignement
Explorez le Fib, une forme de poésie dans laquelle le nombre de syllabes de chacun des six vers suit la séquence de la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8). Exercez-vous à en composer sur divers thèmes.
Comparez le Fib avec une autre forme de poésie comme le haïku, une écriture similaire basée sur les cinq sens. Inspirez-vous d’un objet de la classe ou de la cour d’école pour en écrire à votre tour.
Piste d’enseignement
Explorez l’exploitation de la suite de Fibonacci en musique, notamment dans les rythmes ou dans les sections de chansons qui respectent le lien proportionnel du nombre d’or. Pour ce faire, visionnez la capsule « Le nombre d’or en musique » de Nicolas Tornare et écoutez la pièce de piano de Peter Bence basée sur la suite de Fibonacci.
Ressources complémentaires
- L’article « Le nombre d’or en musique » du blogue d’icm association
- Le balado « Le nombre d’or en musique : trop facile? » de Radio France
